Factorisation d'un polynôme avec une racine

P roposition

Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\) tel que \(n \geq 1\) et soit \(z_0 \in \mathbb{C}\) une racine de \(P\) .  Alors, il existe un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\) tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z-z_0) Q(z)\) .  Autrement dit \(z-z_0\) divise \(P\) .

Démonstration

Soit \(P\)  un polynôme de degré \(n\) tel que \(n \geq 1\) , alors il existe \(n+1\) réels   \(a_0, a_1, \ldots a_n\) tels que \(P(z) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k z^{k}\) .
Soit \(z_0 \in \mathbb{C}\) une racine de \(P\) . On a donc \(P(z_0) = 0\) , donc \(P(z_0) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k z_0^{k} = 0\) .
Ainsi, \(P(z) = P(z)-P(z_0) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k z^{k} - \sum\limits_{k=0}^{n} a_k z_0^{k}= \sum\limits_{k=0}^{n}( a_k z^{k} - a_k z_0^{k} )= \sum\limits_{k=0}^{n} a_k (z^{k} - z_0^{k} )\)
Or, pour \(k \in \{ 0; 1; \ldots ;n \}\) ,   \(z^{k} - z_0^{k} = (z-z_0) \sum\limits_{p=0}^{k-1} z^{k-1-p} z_0^p = (z-z_0)\sum\limits_{p=0}^{k-1} z^{p} z_0^{k-1-p}\) .
On a donc
\(\begin{align*}P(z) &= \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \left( (z-z_0) \sum\limits_{p=0}^{k-1} z^{p} z_0^{k-1-p} \right)= (z-z_0) \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \left( \sum\limits_{p=0}^{k-1} z_0^{k-1-p} z^{p} \right)\end{align*}\) .

En posant \(Q(z) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \left( \sum\limits_{p=0}^{k-1} z_0^{k-1-p} z^{p} \right)\) , \(Q\) est un polynôme de degré \(n-1\) (le coefficient associé à \(z^n\) est \(a_n\) , et \(a_n \neq 0\) ), et on a pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z-z_0) Q(z)\) .

Remarque

La réciproque de cette proposition est vraie : s'il existe un polynôme \(Q\) tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,    \(P(z) = (z-z_0) Q(z)\) , alors  \(P(z_0) = (z_0-z_0) Q(z_0) = 0\) , donc \(z_0\) est racine de \(P\) .

Remarques

• Les coefficients du polynôme \(Q\) dans la proposition précédente sont des complexes si \(z_0\) est complexe. Par exemple, si \(P(z)=z^2+1 = (z-i)(z+i)\) . On a \(P(i)=0\) et \(P(z)=(z-i)Q(z)\) avec \(Q(z)=z+i\) .
  Si  \(z_0\) est réel, et si les coefficients de \(P\) sont réels, alors les coefficients de \(Q\) sont aussi réels.
• Le polynôme \(Q\) dépend bien sûr de la racine \(z_0\) choisie.
  
• Dans la démonstration, on obtient une expression du polynôme \(Q\) , et on pourrait exprimer ses coefficients (en fonction de \(z_0\) et des \(a_k\) ), en pratique voir le point Méthode pour déterminer les coefficients de \(Q\) .